Bino­mische Formeln (Typ I, II, III) einfach erklärt

Die erste binomische Formel (Typ I) lautet:

(a+b)²=a²+2ab+b²

Diese Formel verkürzt die eigentliche Rechnung:

(a+b)²=(a+b)⋅(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b=a²+2⋅a⋅b+b²

Ein einfaches Beispiel für eine erste binomische Formel könnte lauten:

(a+4)²=a²+2⋅a⋅4+4²=a²+8a+16

Gibt es nicht nur Variablen und Zahlen allein, sondern als Produkt zusammen, müssen beide einzeln quadriert werden:

(4a+2b)²=4²⋅a²+2⋅4⋅a⋅2⋅b+2²⋅b²=16a²+16ab+4b²

Ist vor den beiden Bestandteilen im Term in der Klammer ein Minus, so ist das Ergebnis dasselbe wie bei der ersten binomischen Formel. Es gilt:

(−a−b)²=(a+b)²

Warum das so ist, erschließt sich, wenn man es ausführlich rechnet, weil minus mal minus gleich plus ist:

(−a−b)²=(−a−b)⋅(−a−b)=(−a)⋅(−a)+(−a)⋅(−b)+(−b)⋅(−a)+(−b)⋅(−b)=a²+2⋅a⋅b+b²

Daher ist es praktisch, sich neben der ersten binomischen Formel auch zu merken:

(−a−b)²=a²+2ab+b²

Die zweite binomische Formel (Typ II) lautet:

(a−b)²=a²−2ab+b²

Diese Formel verkürzt die eigentliche Rechnung:

(a−b)²=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a+a⋅(−b)+(−b)⋅a+(−b)⋅(−b)=a²−2⋅a⋅b+b²

Ein einfaches Beispiel für eine zweite binomische Formel könnte lauten:

(a−6)²=a²−2⋅a⋅6+6²=a²−12a+36

Etwas schwieriger wird es wieder, wenn Variable und Zahl zusammen als Produkt vorkommen, dann werden wieder beide einzeln quadriert:

(3a−5b)²=3²⋅a²−2⋅3⋅a⋅5⋅b+5²⋅b²=9a²−30ab+25b²

Die dritte binomische Formel (Typ III) lautet:

(a+b)⋅(a−b)=a²−b²

Diese Formel verkürzt die eigentliche Rechnung:

(a+b)⋅(a−b)=a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b)=a²−a⋅b+a⋅b−b²

Durch die gegenteiligen Vorzeichen vor a⋅b löschen diese sich gegenseitig aus.

Ein einfaches Beispiel für eine dritte binomische Formel könnte lauten:

(a+8)⋅(a−8)=a²−8²=a²−64

Kommen Variable und Zahl zusammen als Produkt vor, werden beide wieder einzeln quadriert:

(2a+9b)⋅(2a−9b)=2²⋅a²−9²⋅b²=4a²−81b²