Binomische Formeln (Typ I, II, III) einfach erklärt
Inhaltsübersicht
Grundlagen: Multiplikation von Klammern
Werden zwei Terme in Klammern miteinander multipliziert, so wird jeder Teil des Terms in der einen Klammer mit jedem Teil des anderen Terms malgenommen. Allgemein formuliert bedeutet das:
(a+b)⋅(c+d)=
Dabei müssen auch die Vorzeichen beachtet werden. Zur Erinnerung: Minus mal minus ergibt plus:
(−a+b)⋅(c−d)=
Die binomischen Formeln bauen auf diesen Grundlagen zum Umgang mit zwei Termen in Klammern, die man multipliziert, auf.
Binomische Formel Typ I
Formel und Herleitung
Die erste binomische Formel (Typ I) lautet:
(a+b)²=
Diese Formel verkürzt die eigentliche Rechnung:
(a+b)²=
Beispiele
Ein einfaches Beispiel für eine erste binomische Formel könnte lauten:
(a+4)²=
Gibt es nicht nur Variablen und Zahlen allein, sondern als Produkt zusammen, müssen beide einzeln quadriert werden:
(4a+2b)²=
Sonderfall
Ist vor den beiden Bestandteilen im Term in der Klammer ein Minus, so ist das Ergebnis dasselbe wie bei der ersten binomischen Formel. Es gilt:
(−a−b)²=(a+b)²
Warum das so ist, erschließt sich, wenn man es ausführlich rechnet, weil minus mal minus gleich plus ist:
(−a−b)²=
Daher ist es praktisch, sich neben der ersten binomischen Formel auch zu merken:
(−a−b)²=
Binomische Formel Typ II
Formel und Herleitung
Die zweite binomische Formel (Typ II) lautet:
(a−b)²=
Diese Formel verkürzt die eigentliche Rechnung:
(a−b)²=
Beispiele
Ein einfaches Beispiel für eine zweite binomische Formel könnte lauten:
(a−6)²=
Etwas schwieriger wird es wieder, wenn Variable und Zahl zusammen als Produkt vorkommen, dann werden wieder beide einzeln quadriert:
(3a−5b)²=
Binomische Formel Typ III
Formel und Herleitung
Die dritte binomische Formel (Typ III) lautet:
(a+b)⋅(a−b)=
Diese Formel verkürzt die eigentliche Rechnung:
(a+b)⋅(a−b)=
Durch die gegenteiligen Vorzeichen vor a⋅b löschen diese sich gegenseitig aus.
Beispiele
Ein einfaches Beispiel für eine dritte binomische Formel könnte lauten:
(a+8)⋅(a−8)=
Kommen Variable und Zahl zusammen als Produkt vor, werden beide wieder einzeln quadriert:
(2a+9b)⋅(2a−9b)=